Номер 3, страница 284 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Вопросы к главе 12 - номер 3, страница 284.

Условие.

3 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис углов многоугольника (или точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам) и называется центром правильного многоугольника.

Доказательство

Пусть дан правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$.

1. Существование окружности

Рассмотрим три последовательные вершины многоугольника, например, $A_1, A_2$ и $A_3$. Так как многоугольник правильный (и $n \ge 3$), эти три точки не лежат на одной прямой. Следовательно, через них можно провести единственную окружность. Пусть ее центр — точка $O$.

По определению центра окружности, точка $O$ равноудалена от вершин $A_1, A_2, A_3$, то есть $OA_1 = OA_2 = OA_3$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OA_1A_2$ и $\triangle OA_2A_3$.

В этих треугольниках:

• $A_1A_2 = A_2A_3$ (так как это стороны правильного многоугольника).
• $OA_1 = OA_2$ и $OA_2 = OA_3$ (по построению).

Следовательно, треугольники $\triangle OA_1A_2$ и $\triangle OA_2A_3$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как $A_1A_2 = A_2A_3$, $OA_1=OA_3$ (оба равны $OA_2$), и $OA_2$ — общая сторона.

Теперь докажем, что точка $O$ равноудалена и от следующей вершины $A_4$, то есть $OA_3 = OA_4$. Для этого сравним $\triangle OA_2A_3$ и $\triangle OA_3A_4$.

• $A_2A_3 = A_3A_4$ (стороны правильного многоугольника).
• $OA_3$ — общая сторона.

Найдём угол между этими сторонами в каждом треугольнике. Это углы $\angle OA_3A_2$ и $\angle OA_3A_4$. Из равенства $\triangle OA_1A_2 \cong \triangle OA_2A_3$ следует равенство соответствующих углов: $\angle OA_3A_2 = \angle OA_1A_2$. Треугольник $\triangle OA_1A_2$ является равнобедренным ($OA_1 = OA_2$), поэтому углы при его основании равны: $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1$. Также из равенства $\triangle OA_1A_2 \cong \triangle OA_2A_3$ следует, что $\angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3$. Сумма этих углов составляет угол многоугольника: $\angle A_2 = \angle A_1A_2A_3 = \angle OA_2A_1 + \angle OA_2A_3 = 2\angle OA_2A_1$. Отсюда, $\angle OA_2A_1 = \frac{1}{2}\angle A_2$.

Таким образом, мы получили цепочку равенств: $\angle OA_3A_2 = \angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1 = \frac{1}{2}\angle A_2$.

Поскольку многоугольник правильный, все его углы равны: $\angle A_2 = \angle A_3$. Значит, $\angle OA_3A_2 = \frac{1}{2}\angle A_3$.

Угол $\angle A_3$ многоугольника состоит из двух частей: $\angle A_3 = \angle A_2A_3A_4 = \angle OA_3A_2 + \angle OA_3A_4$. Отсюда можем найти вторую часть: $\angle OA_3A_4 = \angle A_3 - \angle OA_3A_2 = \angle A_3 - \frac{1}{2}\angle A_3 = \frac{1}{2}\angle A_3$.

Итак, мы показали, что $\angle OA_3A_2 = \angle OA_3A_4$.

Теперь мы можем заключить, что $\triangle OA_2A_3 \cong \triangle OA_3A_4$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из этого равенства следует равенство соответствующих сторон: $OA_2 = OA_4$. А поскольку $OA_2 = OA_3$, то и $OA_3 = OA_4$.

Проводя аналогичные рассуждения для следующих пар вершин ($A_4$ и $A_5$, $A_5$ и $A_6$, и так далее до $A_n$ и $A_1$), мы докажем, что точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника:

$OA_1 = OA_2 = OA_3 = ... = OA_n$.

Это по определению означает, что все вершины $A_1, A_2, ..., A_n$ лежат на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA_1$. Таким образом, существование описанной окружности доказано.

2. Единственность окружности

Как известно из геометрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Вершины правильного многоугольника $A_1, A_2, A_3$ не лежат на одной прямой. Следовательно, окружность, проходящая через них, единственна. Любая окружность, описанная около многоугольника $A_1A_2...A_n$, по определению должна проходить через все его вершины, включая $A_1, A_2$ и $A_3$. Поскольку такая окружность только одна, то и описанная около правильного многоугольника окружность может быть только одна.

Теорема доказана.

Ответ: Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника, сформулирована и доказана.