Номер 4, страница 284 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Вопросы к главе 12 - номер 4, страница 284.

Условие.

4 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Сформулируйте

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центр этой окружности совпадает с центром окружности, описанной около этого многоугольника.

Докажите

Пусть дан правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$.

1. Существование вписанной окружности.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Пусть $O$ — её центр. Соединим точку $O$ с вершинами многоугольника отрезками $OA_1, OA_2, \dots, OA_n$. Эти отрезки равны друг другу как радиусы одной и той же описанной окружности.

Рассмотрим n треугольников, на которые разбивается многоугольник: $\triangle A_1OA_2, \triangle A_2OA_3, \dots, \triangle A_nOA_1$. Поскольку многоугольник $A_1A_2...A_n$ правильный, все его стороны равны: $A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_nA_1$. Следовательно, все n треугольников равны между собой по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).

Так как треугольники равны, то равны и их высоты, проведённые из общей вершины $O$ к основаниям. Опустим перпендикуляры $OH_1, OH_2, \dots, OH_n$ на стороны $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_nA_1$ соответственно. Тогда $OH_1 = OH_2 = \dots = OH_n$.

Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех сторон многоугольника. Поэтому окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = OH_1$ касается всех сторон многоугольника в точках $H_1, H_2, \dots, H_n$. По определению, такая окружность является вписанной в многоугольник. Существование доказано.

2. Единственность вписанной окружности.

Центр вписанной в многоугольник окружности по определению равноудалён от всех его сторон. Множество точек, равноудалённых от двух смежных сторон (образующих угол многоугольника), есть биссектриса этого угла. Следовательно, центр вписанной окружности должен являться точкой пересечения биссектрис всех углов многоугольника.

В первой части доказательства мы установили, что $\triangle A_1OA_2 = \triangle A_2OA_3 = \dots$. Из равенства этих равнобедренных треугольников следует равенство их углов при основаниях: $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3 = \angle OA_3A_2 = \dots$.

Рассмотрим любой угол многоугольника, например $\angle A_1A_2A_3$. Он равен сумме двух равных углов: $\angle A_1A_2A_3 = \angle OA_2A_1 + \angle OA_2A_3$. Это означает, что луч $OA_2$ является биссектрисой угла $\angle A_1A_2A_3$. Аналогично для всех остальных вершин многоугольника.

Таким образом, все биссектрисы углов правильного многоугольника пересекаются в одной точке $O$, которая является центром его описанной окружности. Поскольку все биссектрисы пересекаются в единственной точке, то и центр вписанной окружности может быть только один. Радиус вписанной окружности, равный расстоянию от центра $O$ до сторон, также определяется однозначно. Следовательно, вписанная окружность единственна.

Теорема доказана.

Ответ: Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Доказательство: Существование окружности следует из того, что центр описанной окружности $O$ правильного многоугольника равноудалён от всех его сторон; это расстояние и является радиусом вписанной окружности. Единственность следует из того, что центр вписанной окружности должен лежать на пересечении биссектрис углов, а они все пересекаются в единственной точке $O$.