Номер 5, страница 284 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Вопросы к главе 12 - номер 5, страница 284.

Условие.

5 Выведите формулу для вычисления площади правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Разобьем правильный n-угольник на $n$ равных равнобедренных треугольников, соединив центр многоугольника с его вершинами. Центр правильного многоугольника также является центром вписанной в него окружности.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его основанием является сторона правильного многоугольника, обозначим ее длину как $a$. Высотой этого треугольника, опущенной из центра многоугольника на сторону, является радиус вписанной окружности, обозначим его как $r$.

Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) вычисляется как половина произведения его основания на высоту:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} a \cdot r$

Площадь всего правильного многоугольника ($S$) равна сумме площадей всех $n$ треугольников, на которые он разбит:
$S = n \cdot S_{\triangle} = n \cdot \frac{1}{2} a \cdot r = \frac{1}{2} (n \cdot a) \cdot r$

Периметр ($P$) правильного n-угольника равен произведению числа его сторон $n$ на длину одной стороны $a$:
$P = n \cdot a$

Теперь подставим выражение для периметра $P$ в полученную формулу для площади многоугольника:
$S = \frac{1}{2} P \cdot r$

Таким образом, мы получили формулу для вычисления площади правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности.

Ответ: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$, где $S$ — площадь правильного многоугольника, $P$ — его периметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.