Номер 7, страница 284 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Вопросы к главе 12 - номер 7, страница 284.

Условие.

7 Как выражаются стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника через радиус описанной окружности?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для нахождения соотношения между стороной правильного многоугольника ($a$) и радиусом описанной окружности ($R$) можно использовать как общую формулу, так и частные геометрические свойства каждой фигуры.

Общая формула для стороны $a_n$ правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$: $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Сторона правильного треугольника

Для правильного (равностороннего) треугольника число сторон $n=3$. Подставим это значение в общую формулу:

$a_3 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ)$

Так как значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$a_3 = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Таким образом, сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности как $a = R\sqrt{3}$.

Ответ: $a = R\sqrt{3}$

Сторона квадрата

Диагональ квадрата $d$, вписанного в окружность, является ее диаметром, то есть $d = 2R$. Стороны квадрата ($a$) и его диагональ ($d$) образуют прямоугольный треугольник, для которого по теореме Пифагора выполняется соотношение:

$a^2 + a^2 = d^2$

$2a^2 = (2R)^2$

$2a^2 = 4R^2$

$a^2 = 2R^2$

Извлекая квадратный корень, находим сторону квадрата:

$a = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Ответ: $a = R\sqrt{2}$

Сторона правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник, вписанный в окружность, состоит из шести равносторонних треугольников, общая вершина которых находится в центре окружности. Сторонами каждого такого треугольника являются два радиуса $R$ и сторона шестиугольника $a$.

Центральный угол, опирающийся на сторону шестиугольника, равен $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

Поскольку треугольник, образованный двумя радиусами и стороной, является равнобедренным (две стороны равны $R$) с углом при вершине $60^\circ$, то и два других угла при основании также равны $60^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равносторонним.

Поэтому все его стороны равны, то есть сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

$a = R$

Ответ: $a = R$