Номер 13, страница 284 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Вопросы к главе 12 - номер 13, страница 284.

Условие.

13 Что такое круговой сегмент? Объясните, как можно вычислить его площадь.

Решение 4.

Решение 10.

Что такое круговой сегмент?

Круговой сегмент — это часть круга, ограниченная дугой окружности и её хордой (отрезком, соединяющим концы дуги). Любая хорда делит круг на два сегмента. Сегмент, дуга которого меньше полуокружности, называется меньшим сегментом. Сегмент, дуга которого больше полуокружности, называется большим сегментом. Если хорда является диаметром, то она делит круг на два равных сегмента, которые называются полукругами.

Ответ: Круговой сегмент — это плоская фигура, ограниченная дугой окружности и стягивающей её хордой.

Объясните, как можно вычислить его площадь.

Площадь кругового сегмента вычисляется как разность площади кругового сектора, соответствующего этому сегменту, и площади треугольника, образованного радиусами, проведёнными к концам хорды, и самой хордой.

Рассмотрим алгоритм вычисления. Пусть даны радиус круга $R$ и центральный угол $\alpha$, который опирается на дугу сегмента.

1. Вычисляем площадь кругового сектора ($S_{сектора}$). Формула зависит от единиц измерения угла $\alpha$:
- Если угол $\alpha$ в радианах: $S_{сектора} = \frac{1}{2} R^2 \alpha$
- Если угол $\alpha$ в градусах: $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$

2. Вычисляем площадь равнобедренного треугольника ($S_{\triangle}$), образованного двумя радиусами и хордой. Две его стороны равны радиусу $R$, а угол между ними равен $\alpha$. Его площадь находится по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$

3. Находим площадь сегмента ($S_{сегмента}$) путем вычитания площади треугольника из площади сектора:
$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle}$

Таким образом, общая формула для площади кругового сегмента выглядит так:

• Если центральный угол $\alpha$ выражен в радианах:

  $S_{сегмента} = \frac{1}{2} R^2 (\alpha - \sin(\alpha))$

• Если центральный угол $\alpha$ выражен в градусах:

  $S_{сегмента} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = R^2 \left( \frac{\pi \alpha}{360^\circ} - \frac{\sin(\alpha)}{2} \right)$

Ответ: Площадь кругового сегмента вычисляется как разность площадей кругового сектора и треугольника, образованного радиусами и хордой. Основная формула: $S = \frac{1}{2} R^2 (\alpha - \sin(\alpha))$, где $R$ — радиус, а $\alpha$ — центральный угол в радианах.