Номер 10, страница 284 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Вопросы к главе 12 - номер 10, страница 284.

Условие.

10 Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Чтобы вывести формулу для вычисления длины дуги окружности, мы будем исходить из формулы длины всей окружности и принципа пропорциональности. Длина дуги окружности прямо пропорциональна величине ее центрального угла.

1. Длина всей окружности $C$ с радиусом $R$ определяется по формуле: $C = 2\pi R$.

2. Полная окружность соответствует центральному углу в $360$ градусов ($360^\circ$).

3. Рассчитаем длину дуги, соответствующей центральному углу в $1^\circ$. Поскольку существует прямая пропорциональность между длиной дуги и ее угловой мерой, длина дуги в $1^\circ$ составляет $\frac{1}{360}$ часть от длины всей окружности:
$L_{1^\circ} = \frac{C}{360} = \frac{2\pi R}{360} = \frac{\pi R}{180}$.

4. Соответственно, длина дуги $L$, центральный угол которой составляет $\alpha$ градусов, будет в $\alpha$ раз больше длины дуги в $1^\circ$ :
$L = \frac{\pi R}{180} \cdot \alpha$.

Эта формула используется, когда центральный угол задан в градусах.

Также можно вывести формулу для случая, когда угол задан в радианах. Полный угол в $360^\circ$ равен $2\pi$ радиан. Обозначим радианную меру центрального угла дуги через $\theta$. Мы можем составить пропорцию: отношение длины дуги $L$ к длине всей окружности $C$ равно отношению ее центрального угла $\theta$ к полному углу $2\pi$ (в радианах):
$\frac{L}{C} = \frac{\theta}{2\pi}$

Подставим в эту пропорцию формулу длины окружности $C = 2\pi R$ :
$\frac{L}{2\pi R} = \frac{\theta}{2\pi}$

Теперь выразим из этого уравнения длину дуги $L$, умножив обе части на $2\pi R$ :
$L = \frac{\theta \cdot 2\pi R}{2\pi} = R\theta$.

Эта формула, $L = R\theta$, очень проста и удобна в использовании, когда угол дан в радианах. Она является прямым следствием определения радиана.

Ответ: Формула для вычисления длины $L$ дуги окружности радиуса $R$ с центральным углом $\alpha$, измеренным в градусах, имеет вид: $L = \frac{\pi R \alpha}{180}$. Если центральный угол $\theta$ измерен в радианах, то формула выглядит так: $L = R\theta$.