Номер 1125, страница 284 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1125, страница 284.

Условие.

1125 На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами, длины которых равны $a$ и $b$, и гипотенузой, длина которой равна $c$.

Согласно теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника справедливо равенство, связывающее длины его сторон: $a^2 + b^2 = c^2$.

Площадь круга с диаметром $d$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$, где $R$ - радиус. Так как радиус равен половине диаметра ($R = \frac{d}{2}$), формулу можно переписать как $S_{круга} = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$. Соответственно, площадь полукруга равна половине площади круга: $S_{полукруга} = \frac{1}{2} S_{круга} = \frac{\pi d^2}{8}$.

По условию задачи, на каждой стороне треугольника как на диаметре построен полукруг. Найдем площади этих полукругов, используя выведенную формулу:

Площадь полукруга, построенного на катете $a$, равна $S_a = \frac{\pi a^2}{8}$.

Площадь полукруга, построенного на катете $b$, равна $S_b = \frac{\pi b^2}{8}$.

Площадь полукруга, построенного на гипотенузе $c$, равна $S_c = \frac{\pi c^2}{8}$.

Нам необходимо доказать, что площадь полукруга на гипотенузе равна сумме площадей полукругов на катетах, то есть $S_c = S_a + S_b$.

Найдем сумму площадей полукругов, построенных на катетах: $S_a + S_b = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8}$.

Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{8}$ за скобки: $S_a + S_b = \frac{\pi}{8}(a^2 + b^2)$.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) и подставим $c^2$ в полученное выражение вместо суммы квадратов катетов: $S_a + S_b = \frac{\pi c^2}{8}$.

Полученное выражение в точности совпадает с формулой для площади полукруга, построенного на гипотенузе, $S_c$. Таким образом, мы доказали, что $S_c = S_a + S_b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма площадей полукругов на катетах $\frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8} = \frac{\pi}{8}(a^2 + b^2)$. Согласно теореме Пифагора, $a^2 + b^2 = c^2$, поэтому сумма площадей равна $\frac{\pi c^2}{8}$, что является площадью полукруга, построенного на гипотенузе.