Номер 132, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 132, страница 41.

Условие.

132 Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла $A$, пересекает стороны угла в точках $M$ и $N$. Докажите, что треугольник $AMN$ — равнобедренный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана прямая, которая перпендикулярна биссектрисе угла $A$ и пересекает стороны этого угла в точках $M$ и $N$. Обозначим биссектрису угла $A$ как $AL$, а точку пересечения биссектрисы с прямой $MN$ как $K$.

Рассмотрим образовавшийся треугольник $AMN$. Чтобы доказать, что он является равнобедренным, нужно показать, что две его стороны равны, то есть $AM = AN$.

Рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $AK$ делит треугольник $AMN$: $\triangle AKM$ и $\triangle AKN$.

1. Сторона $AK$ является общей для обоих треугольников.
2. Поскольку $AL$ — это биссектриса угла $A$, она делит угол $MAN$ на два равных угла. Следовательно, $\angle MAK = \angle NAK$.
3. По условию задачи, прямая $MN$ перпендикулярна биссектрисе $AL$. Это означает, что $AK \perp MN$, и, следовательно, $\angle AKM = \angle AKN = 90^\circ$. Таким образом, отрезок $AK$ является высотой в треугольнике $AMN$.

Итак, мы имеем два прямоугольных треугольника, $\triangle AKM$ и $\triangle AKN$, у которых общий катет $AK$ и равные прилежащие к нему острые углы ($\angle MAK = \angle NAK$).

Следовательно, треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle AKN$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу). Также это соответствует второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, гипотенуза $AM$ треугольника $\triangle AKM$ равна гипотенузе $AN$ треугольника $\triangle AKN$:

$AM = AN$

Поскольку в треугольнике $AMN$ две стороны равны, он является равнобедренным по определению.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $AMN$ является равнобедренным, так как отрезок биссектрисы $AK$ является одновременно высотой и биссектрисой в этом треугольнике, что доказывает равенство треугольников $\triangle AKM$ и $\triangle AKN$ и, как следствие, равенство сторон $AM$ и $AN$.