Номер 133, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 133, страница 41.

Условие.

133 Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник – равнобедренный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

$\triangle ABC$, $BD$ — отрезок, являющийся одновременно биссектрисой угла $\angle ABC$ и высотой к стороне $AC$.

Доказать:

$\triangle ABC$ — равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $BD$ делит $\triangle ABC$: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

1. Так как $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$ по условию, то она делит этот угол на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.

2. Так как $BD$ является высотой, проведенной к стороне $AC$ по условию, то $BD \perp AC$. Следовательно, углы при основании высоты являются прямыми: $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). В этих треугольниках сторона $BD$ и прилежащие к ней углы ($\angle ABD$ и $\angle BDA$ в первом, $\angle CBD$ и $\angle BDC$ во втором) соответственно равны.

Из равенства треугольников ($\triangle ABD \cong \triangle CBD$) следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle BDA$, а сторона $BC$ — напротив равного ему угла $\angle BDC$. Следовательно, $AB = BC$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Так как в $\triangle ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.