Номер 131, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 131, страница 41.

Условие.

131. В треугольниках $DEF$ и $MNP$ $EF=NP$, $DF=MP$ и $\angle F = \angle P$. Биссектрисы углов $E$ и $D$ пересекаются в точке $O$, а биссектрисы углов $M$ и $N$ — в точке $K$. Докажите, что $\angle DOE = \angle MKN$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

1. Рассмотрим треугольники $DEF$ и $MNP$. По условию задачи нам дано:

• $EF = NP$ (сторона)
• $DF = MP$ (сторона)
• $\angle F = \angle P$ (угол между этими сторонами)

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle DEF \cong \triangle MNP$.

2. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов:

• $\angle D = \angle M$
• $\angle E = \angle N$

3. Рассмотрим треугольник $DOE$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle DOE = 180^{\circ} - (\angle OED + \angle ODE)$.

По условию, $EO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $E$ и $D$ соответственно. Это означает, что они делят эти углы пополам:

• $\angle OED = \frac{1}{2}\angle E$
• $\angle ODE = \frac{1}{2}\angle D$

Подставим эти значения в формулу для угла $\angle DOE$:

$\angle DOE = 180^{\circ} - (\frac{1}{2}\angle E + \frac{1}{2}\angle D) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle E + \angle D)$.

4. Аналогично рассмотрим треугольник $MKN$. Сумма углов в этом треугольнике также равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle MKN = 180^{\circ} - (\angle KNM + \angle KMN)$.

По условию, $NK$ и $MK$ являются биссектрисами углов $N$ и $M$ соответственно:

• $\angle KNM = \frac{1}{2}\angle N$
• $\angle KMN = \frac{1}{2}\angle M$

Подставим эти значения в формулу для угла $\angle MKN$:

$\angle MKN = 180^{\circ} - (\frac{1}{2}\angle N + \frac{1}{2}\angle M) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle N + \angle M)$.

5. Теперь сравним выражения для углов $\angle DOE$ и $\angle MKN$. Мы уже доказали, что $\angle D = \angle M$ и $\angle E = \angle N$. Следовательно, сумма углов $(\angle D + \angle E)$ равна сумме углов $(\angle M + \angle N)$.

Так как правые части выражений для $\angle DOE$ и $\angle MKN$ равны:

$180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle E + \angle D) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle N + \angle M)$

то и левые части должны быть равны:

$\angle DOE = \angle MKN$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.