Номер 130, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 130, страница 41.

Условие.

130 В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отрезки $CO$ и $C_1O_1$ — медианы, $BC = B_1C_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$. Докажите, что:

а) $\triangle ACO = \triangle A_1C_1O_1$;

б) $\triangle BCO = \triangle B_1C_1O_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для начала рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

По условию задачи нам дано:

• $BC = B_1C_1$ (сторона)
• $\angle B = \angle B_1$ (прилежащий угол)
• $\angle C = \angle C_1$ (прилежащий угол)

Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

• $AB = A_1B_1$
• $AC = A_1C_1$
• $\angle A = \angle A_1$

Также по условию отрезки $CO$ и $C_1O_1$ являются медианами. По определению медианы, она делит противоположную сторону пополам. Следовательно:

• $O$ – середина стороны $AB$, поэтому $AO = OB = \frac{1}{2}AB$.
• $O_1$ – середина стороны $A_1B_1$, поэтому $A_1O_1 = O_1B_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$.

Так как мы уже доказали, что $AB = A_1B_1$, то и половины этих сторон равны между собой: $AO = A_1O_1$ и $OB = O_1B_1$.

Теперь мы можем доказать равенство требуемых треугольников.

а) $\triangle ACO = \triangle A_1C_1O_1$

Рассмотрим треугольники $ACO$ и $A_1C_1O_1$. Сравним их элементы:

1. $AC = A_1C_1$ (как соответствующие стороны равных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).
2. $\angle A = \angle A_1$ (как соответствующие углы равных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).
3. $AO = A_1O_1$ (как половины равных сторон $AB$ и $A_1B_1$).

Следовательно, $\triangle ACO = \triangle A_1C_1O_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Утверждение доказано.

б) $\triangle BCO = \triangle B_1C_1O_1$

Рассмотрим треугольники $BCO$ и $B_1C_1O_1$. Сравним их элементы:

1. $BC = B_1C_1$ (дано по условию).
2. $\angle B = \angle B_1$ (дано по условию).
3. $BO = B_1O_1$ (как половины равных сторон $AB$ и $A_1B_1$).

Следовательно, $\triangle BCO = \triangle B_1C_1O_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Утверждение доказано.