Номер 123, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 123, страница 40.

Условие.

123 На биссектрисе угла A взята точка D, а на сторонах этого угла — точки B и C такие, что $\angle ADB = \angle ADC$. Докажите, что $BD = CD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACD $. Нам нужно доказать, что они равны, чтобы из этого сделать вывод о равенстве сторон $ BD $ и $ CD $.

Проанализируем известные нам элементы этих треугольников:

1. Угол $ \angle BAD $ равен углу $ \angle CAD $, так как по условию луч $ AD $ является биссектрисой угла $ A $, а биссектриса делит угол пополам.

2. Угол $ \angle ADB $ равен углу $ \angle ADC $ согласно условию задачи.

3. Сторона $ AD $ является общей для обоих треугольников, следовательно, она равна сама себе.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACD $ сторона $ AD $ и два прилежащих к ней угла ($ \angle BAD $ и $ \angle ADB $ в первом треугольнике, $ \angle CAD $ и $ \angle ADC $ во втором) соответственно равны.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольник $ \triangle ABD $ равен треугольнику $ \triangle ACD $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $ BD $ в $ \triangle ABD $ лежит напротив угла $ \angle BAD $. Сторона $ CD $ в $ \triangle ACD $ лежит напротив угла $ \angle CAD $. Так как $ \angle BAD = \angle CAD $, то и соответствующие им стороны $ BD $ и $ CD $ равны.

Итак, $ BD = CD $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ BD = CD $ доказано на основе второго признака равенства треугольников.