Номер 118, страница 38 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 118, страница 38.

Условие.

118 На основании BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N так, что $BM = CN$. Докажите, что:

a) $\triangle BAM = \triangle CAN$;

б) треугольник AMN равнобедренный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи нам дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. Из определения равнобедренного треугольника следует, что его боковые стороны равны ($AB = AC$) и углы при основании также равны ($\angle ABC = \angle ACB$). На основании $BC$ расположены точки $M$ и $N$ таким образом, что выполняется равенство $BM = CN$.

а) $\triangle BAM = \triangle CAN$;

Рассмотрим треугольники $\triangle BAM$ и $\triangle CAN$. Для доказательства их равенства воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle BAM$ равна стороне $AC$ треугольника $\triangle CAN$, так как это боковые стороны равнобедренного треугольника $ABC$.
2. Угол $\angle ABM$ (который является углом $\angle ABC$) равен углу $\angle ACN$ (который является углом $\angle ACB$), так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$.
3. Сторона $BM$ треугольника $\triangle BAM$ равна стороне $CN$ треугольника $\triangle CAN$ по условию задачи.
Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle BAM$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle CAN$. Следовательно, $\triangle BAM = \triangle CAN$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle BAM$ и $\triangle CAN$ доказано.

б) треугольник $AMN$ равнобедренный.

Из равенства треугольников $\triangle BAM$ и $\triangle CAN$, которое было доказано в пункте а), следует равенство их соответствующих элементов. В частности, сторона $AM$ в треугольнике $\triangle BAM$ является соответствующей стороне $AN$ в треугольнике $\triangle CAN$. Отсюда следует, что $AM = AN$.
Согласно определению, треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Поскольку в треугольнике $AMN$ стороны $AM$ и $AN$ равны, то $\triangle AMN$ является равнобедренным, с основанием $MN$.

Ответ: Утверждение о том, что треугольник $AMN$ является равнобедренным, доказано.