Номер 119, страница 38 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 119, страница 38.

Условие.

119 □ В равнобедренном треугольнике $DEK$ с основанием $DK = 16 \text{ см}$ отрезок $EF$ — биссектриса, $\angle DEF = 43^\circ$. Найдите $KF$, $\angle DEK$, $\angle EFD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

KF
По условию, в равнобедренном треугольнике $DEK$ основанием является сторона $DK$. Отрезок $EF$ — биссектриса угла $\angle DEK$, проведенная к основанию. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также и медианой. Медиана делит сторону, к которой она проведена, на две равные части. Следовательно, точка $F$ является серединой основания $DK$. Таким образом, $KF = \frac{1}{2} \cdot DK$. Подставим известное значение $DK = 16$ см: $KF = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.
Ответ: 8 см.

$\angle DEK$
По определению, биссектриса делит угол на два равных угла. Отрезок $EF$ является биссектрисой угла $\angle DEK$, поэтому $\angle DEF = \angle KEF$. Угол $\angle DEK$ состоит из двух этих углов: $\angle DEK = \angle DEF + \angle KEF$. Так как нам дано, что $\angle DEF = 43^\circ$, то и $\angle KEF = 43^\circ$. Следовательно, $\angle DEK = 43^\circ + 43^\circ = 2 \cdot 43^\circ = 86^\circ$.
Ответ: $86^\circ$.

$\angle EFD$
Как было установлено в первом пункте, биссектриса $EF$, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также и его высотой. Высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой она проведена. Это означает, что $EF \perp DK$. Угол между перпендикулярными отрезками равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle EFD = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.