Номер 125, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 125, страница 40.

Условие.

125 На рисунке 74 $\angle DAC = \angle DBC$, $AO = BO$. Докажите, что $\angle C = \angle D$ и $AC = BD$.

Рис. 74

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства утверждений рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

В этих треугольниках:

• $AO = BO$ по условию задачи.
• $\angle OAC = \angle OBD$, так как по условию $\angle DAC = \angle DBC$.
• $\angle AOC = \angle BOD$, так как эти углы являются вертикальными.

Таким образом, треугольник $\triangle AOC$ равен треугольнику $\triangle BOD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы (стороны и углы) равны.

$\angle C = \angle D$

Поскольку $\triangle AOC = \triangle BOD$, их соответствующие углы равны. Угол $\angle C$ (он же $\angle ACO$) треугольника $\triangle AOC$ соответствует углу $\angle D$ (он же $\angle BDO$) треугольника $\triangle BOD$. Следовательно, $\angle C = \angle D$.
Ответ: Утверждение, что $\angle C = \angle D$, доказано.

$AC = BD$

Поскольку $\triangle AOC = \triangle BOD$, их соответствующие стороны равны. Сторона $AC$ треугольника $\triangle AOC$ соответствует стороне $BD$ треугольника $\triangle BOD$. Следовательно, $AC = BD$.
Ответ: Утверждение, что $AC = BD$, доказано.