Номер 128, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 128, страница 40.

Условие.

128 Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны два равных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. В этих треугольниках из соответственных вершин $B$ и $B_1$ проведены биссектрисы $BD$ и $B_1D_1$ к соответственным сторонам $AC$ и $A_1C_1$.

Дано:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$
$BD$ — биссектриса $\angle B$
$B_1D_1$ — биссектриса $\angle B_1$

Доказать:
$BD = B_1D_1$

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Так как по условию эти треугольники равны, то их соответственные элементы (стороны и углы) также равны. В частности:
1. $AB = A_1B_1$ (как соответственные стороны)
2. $\angle A = \angle A_1$ (как соответственные углы)
3. $\angle B = \angle B_1$ (как соответственные углы)

По определению, биссектриса делит угол пополам. Так как $BD$ — биссектриса угла $\angle B$, то $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$. Аналогично, так как $B_1D_1$ — биссектриса угла $\angle B_1$, то $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$.

Поскольку $\angle B = \angle B_1$, то равны и их половины: $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. Сравним их элементы:
- $AB = A_1B_1$ (из равенства исходных треугольников).
- $\angle A = \angle A_1$ (из равенства исходных треугольников).
- $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$ (как половины равных углов).

Таким образом, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует, что их соответственные стороны равны. Следовательно, $BD = B_1D_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.