Номер 129, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 129, страница 41.

Условие.

129 Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в середине $O$ отрезка $AC$, $\angle BCO=\angle DAO$. Докажите, что $\triangle BOA=\triangle DOC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольники $ΔAOD$ и $ΔCOB$.

1. $AO = CO$, так как по условию точка $O$ является серединой отрезка $AC$.

2. $∠DAO = ∠BCO$ по условию задачи.

3. $∠AOD = ∠COB$, так как эти углы являются вертикальными при пересечении отрезков $AC$ и $BD$.

Следовательно, $ΔAOD = ΔCOB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны. Отсюда следует, что $OD = OB$.

Теперь рассмотрим треугольники $ΔBOA$ и $ΔDOC$.

1. $AO = CO$ по условию.

2. $BO = DO$, как было доказано выше.

3. $∠BOA = ∠DOC$, так как эти углы являются вертикальными.

Следовательно, $ΔBOA = ΔDOC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ΔBOA = ΔDOC$ доказано.