Номер 136, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 136, страница 41.

Условие.

136 ☐ На рисунке 52 (см. с. 31) $AB=AC$, $BD=DC$ и $\angle BAC=50^\circ$. Найдите $\angle CAD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

Согласно условию задачи, у этих треугольников:

1. Сторона $AB$ равна стороне $AC$ ($AB = AC$).

2. Сторона $BD$ равна стороне $DC$ ($BD = DC$).

3. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, $\triangle ABD$ равен $\triangle ACD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны. В частности, угол, лежащий против стороны $BD$ в $\triangle ABD$, равен углу, лежащему против стороны $DC$ в $\triangle ACD$. Таким образом, $\angle BAD = \angle CAD$.

Это означает, что луч $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.

Угол $\angle BAC$ складывается из двух равных углов $\angle BAD$ и $\angle CAD$:

$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = 2 \cdot \angle CAD$

По условию задачи $\angle BAC = 50^{\circ}$. Подставим это значение в полученное равенство:

$50^{\circ} = 2 \cdot \angle CAD$

Отсюда найдем величину угла $\angle CAD$:

$\angle CAD = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ}$

Ответ: $25^{\circ}$.