Номер 139, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 139, страница 41.

Условие.

139 На рисунке 76 $AB=CD$, $AD=BC$, $BE$ — биссектриса угла $ABC$, а $DF$ — биссектриса угла $ADC$. Докажите, что:

а) $\angle ABE=\angle ADF;$

б) $\triangle ABE=\triangle CDF.$

Рис. 76

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи дано, что противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $AD = BC$.

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две пары противолежащих сторон равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Одним из свойств параллелограмма является равенство его противолежащих углов. Таким образом, $\angle ABC = \angle ADC$.

Из условия известно, что $BE$ — биссектриса угла $\angle ABC$, а $DF$ — биссектриса угла $\angle ADC$. По определению биссектрисы:

$\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABC$

$\angle ADF = \frac{1}{2} \angle ADC$

Поскольку $\angle ABC = \angle ADC$, то и половины этих углов равны, то есть $\frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle ADC$.

Отсюда следует, что $\angle ABE = \angle ADF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle ABE = \angle ADF$ доказано.

б)

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CDF$. Для доказательства их равенства сравним их элементы.

1. $AB = CD$ по условию задачи.

2. Так как $ABCD$ — параллелограмм (что было доказано в пункте а)), его противолежащие углы равны. Значит, $\angle DAB = \angle BCD$. В контексте рассматриваемых треугольников это означает, что $\angle BAE = \angle DCF$.

3. Также из свойств параллелограмма следует, что $\angle ABC = \angle ADC$. Поскольку $BE$ и $DF$ являются биссектрисами этих углов, то они делят их на равные половины. В частности, $\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABC$ и $\angle CDF = \frac{1}{2} \angle ADC$. Из равенства $\angle ABC = \angle ADC$ следует, что $\angle ABE = \angle CDF$.

Таким образом, мы имеем два треугольника $\triangle ABE$ и $\triangle CDF$, у которых:

• сторона $AB$ равна стороне $CD$;
• прилежащий к ней угол $\angle BAE$ равен углу $\angle DCF$;
• второй прилежащий к ней угол $\angle ABE$ равен углу $\angle CDF$.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABE = \triangle CDF$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABE = \triangle CDF$ доказано.