Номер 144, страница 47 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 144, страница 47.

Условие.

144 Отрезки $AB$ и $CD$ — диаметры окружности. Докажите, что:

а) хорды $BD$ и $AC$ равны;

б) хорды $AD$ и $BC$ равны;

в) $\angle BAD = \angle BCD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть O - центр окружности. Так как отрезки AB и CD являются диаметрами, они пересекаются в центре O. Следовательно, отрезки $OA, OB, OC, OD$ равны друг другу как радиусы одной и той же окружности ($OA = OB = OC = OD = R$).

а) хорды BD и AC равны

Рассмотрим треугольники $\triangle BOD$ и $\triangle AOC$.
В них стороны $BO = AO$ и $DO = CO$ как радиусы окружности.
Углы $\angle BOD$ и $\angle AOC$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении диаметров AB и CD.
Следовательно, треугольники $\triangle BOD$ и $\triangle AOC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, а значит, хорда $BD = AC$.
Ответ: Доказано, что хорды BD и AC равны.

б) хорды AD и BC равны

Аналогично пункту а), рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$.
В них стороны $AO = BO$ и $DO = CO$ как радиусы.
Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ равны как вертикальные.
Следовательно, $\triangle AOD \cong \triangle BOC$ по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, то есть хорда $AD = BC$.
Ответ: Доказано, что хорды AD и BC равны.

в) ∠BAD = ∠BCD

Рассмотрим треугольники $\triangle BAD$ и $\triangle DCB$.
1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$, так как обе являются диаметрами одной и той же окружности ($AB = CD = 2R$).
2. Сторона $AD$ равна стороне $CB$, что было доказано в пункте б).
3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.
Таким образом, треугольники $\triangle BAD$ и $\triangle DCB$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
В равных треугольниках соответствующие углы равны. Угол $\angle BAD$ в треугольнике $\triangle BAD$ лежит напротив стороны $BD$, а угол $\angle DCB$ (что то же самое, что и $\angle BCD$) в треугольнике $\triangle DCB$ лежит напротив стороны $DB$. Следовательно, $\angle BAD = \angle BCD$.
Ответ: Доказано, что $\angle BAD = \angle BCD$.