Номер 151, страница 47 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 151, страница 47.

Условие.

151 □ Даны острый угол BAC и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы $\angle YXZ = 2\angle BAC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы построить угол $YXZ$, равный удвоенному острому углу $BAC$, необходимо выполнить построение угла, равного $BAC$, дважды, откладывая их друг от друга. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

1. С центром в вершине $A$ данного угла $BAC$ проводим окружность произвольного радиуса $R_1$. Точки пересечения этой окружности со сторонами угла назовем $P$ и $Q$.

2. На данном луче $XY$ с центром в его начале, точке $X$, проводим окружность тем же радиусом $R_1$. Точку пересечения с лучом $XY$ назовем $M$.

3. С помощью циркуля измеряем расстояние между точками $P$ и $Q$. Обозначим это расстояние как $R_2 = PQ$.

4. С центром в точке $M$ проводим окружность радиусом $R_2$. Она пересечет окружность, построенную в шаге 2, в некоторой точке $K$.

5. Проводим луч $XK$. По построению (равенство треугольников $APQ$ и $XMK$ по трем сторонам), угол $YXK$ равен данному углу $BAC$. То есть, $∠YXK = ∠BAC$.

6. Теперь от луча $XK$ отложим еще один угол, равный $BAC$. Для этого с центром в точке $K$ проводим окружность радиусом $R_2 = PQ$. Она пересечет окружность с центром $X$ (из шага 2) в новой точке, которую назовем $Z$ (отличной от точки $M$).

7. Проводим луч $XZ$. По построению (равенство треугольников $APQ$ и $XKZ$ по трем сторонам), угол $KXZ$ также равен углу $BAC$. То есть, $∠KXZ = ∠BAC$.

8. Искомый угол $YXZ$ состоит из двух построенных углов $YXK$ и $KXZ$. Его величина равна их сумме: $∠YXZ = ∠YXK + ∠KXZ$.

9. Так как $∠YXK = ∠BAC$ и $∠KXZ = ∠BAC$, мы получаем требуемое соотношение: $∠YXZ = ∠BAC + ∠BAC = 2∠BAC$.

Ответ: Построенный угол $YXZ$ удовлетворяет условию $∠YXZ = 2∠BAC$.