Номер 154, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 154, страница 48.

Условие.

154 Дан треугольник $ABC$. Постройте:

а) биссектрису $AK$;

б) медиану $BM$;

в) высоту $CH$ треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для выполнения построений будем использовать циркуль и линейку без делений. Дан произвольный треугольник $ABC$.

а) биссектрису АК

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который соединяет вершину угла с точкой на противоположной стороне и делит этот угол пополам. Для построения биссектрисы $АК$ угла $A$ выполним следующие шаги:

1. Поставим ножку циркуля в вершину $A$ и проведём дугу произвольного радиуса, которая пересечёт стороны $AB$ и $AC$ в точках, которые мы назовём $P_1$ и $P_2$.
2. Из точек $P_1$ и $P_2$ как из центров проведём две дуги одинакового радиуса (радиус должен быть больше половины длины отрезка $P_1P_2$) так, чтобы они пересеклись внутри угла $A$. Обозначим точку их пересечения $L$.
3. С помощью линейки проведём луч из вершины $A$ через точку $L$. Этот луч является биссектрисой угла $BAC$.
4. Точка, в которой этот луч пересекает сторону $BC$, является точкой $K$. Отрезок $AK$ — искомая биссектриса.

Ответ: Построение выполнено.

б) медиану BM

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для построения медианы $BM$ необходимо найти середину стороны $AC$.

1. Поставим ножку циркуля в точку $A$ и проведём дугу окружности с радиусом, заведомо большим половины длины отрезка $AC$.
2. Не меняя раствора циркуля, поставим его ножку в точку $C$ и проведём вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух местах. Назовём точки пересечения дуг $D_1$ и $D_2$.
3. С помощью линейки проведём прямую через точки $D_1$ и $D_2$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.
4. Точка, в которой эта прямая пересекает сторону $AC$, является её серединой. Обозначим эту точку $M$.
5. Соединим вершину $B$ с точкой $M$ с помощью линейки. Отрезок $BM$ — искомая медиана.

Ответ: Построение выполнено.

в) высоту CH

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Для построения высоты $CH$ из вершины $C$ на прямую $AB$ выполним следующие шаги:

1. Поставим ножку циркуля в вершину $C$ и проведём дугу такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $AB$ в двух точках. Обозначим эти точки $R_1$ и $R_2$. (Если треугольник тупоугольный с тупым углом $A$ или $B$, то прямую $AB$ нужно будет продлить, чтобы получить две точки пересечения).
2. Из точек $R_1$ и $R_2$ как из центров проведём две дуги одинакового радиуса (большего половины отрезка $R_1R_2$) так, чтобы они пересеклись. Обозначим одну из точек их пересечения $T$.
3. С помощью линейки проведём прямую через точки $C$ и $T$. Эта прямая перпендикулярна прямой $AB$.
4. Точка пересечения прямой $CT$ с прямой $AB$ является основанием высоты. Обозначим эту точку $H$. Отрезок $CH$ — искомая высота.

Ответ: Построение выполнено.