Номер 152, страница 47 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 152, страница 47.

Условие.

152 Дан тупой угол $AOB$. Постройте луч $OX$ так, чтобы углы $XOA$ и $XOB$ были равными тупыми углами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы построить луч $OX$, удовлетворяющий условию задачи, проанализируем его возможное расположение. Условие, что углы $∠XOA$ и $∠XOB$ равны, означает, что луч $OX$ лежит на прямой, которая является биссектрисой угла, образованного лучами $OA$ и $OB$. Такая прямая состоит из двух лучей, выходящих из вершины $O$ в противоположных направлениях. Рассмотрим оба этих луча.

1. Случай 1: Луч $OX$ является биссектрисой угла $∠AOB$.
В этом случае луч $OX$ проходит между лучами $OA$ и $OB$. Тогда величина углов $∠XOA$ и $∠XOB$ равна половине величины угла $∠AOB$: $∠XOA = ∠XOB = \frac{∠AOB}{2}$. Поскольку по условию угол $∠AOB$ тупой, его величина находится в пределах $90^\circ < ∠AOB < 180^\circ$. Следовательно, для углов $∠XOA$ и $∠XOB$ будет выполняться неравенство $45^\circ < \frac{∠AOB}{2} < 90^\circ$. Это означает, что углы $∠XOA$ и $∠XOB$ являются острыми, что противоречит условию задачи.

2. Случай 2: Луч $OX$ является дополнением биссектрисы угла $∠AOB$ до прямой.
Пусть $OC$ — биссектриса угла $∠AOB$. Тогда искомый луч $OX$ направлен в противоположную сторону от луча $OC$. Углы $∠XOA$ и $∠AOC$ являются смежными, так как лучи $OX$ и $OC$ образуют прямую. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому $∠XOA = 180^\circ - ∠AOC$. Аналогично, $∠XOB = 180^\circ - ∠BOC$. Так как $OC$ — биссектриса, то $∠AOC = ∠BOC = \frac{∠AOB}{2}$. Отсюда следует, что $∠XOA = ∠XOB = 180^\circ - \frac{∠AOB}{2}$. Проверим, являются ли эти углы тупыми. Из условия $90^\circ < ∠AOB < 180^\circ$ следует, что $45^\circ < \frac{∠AOB}{2} < 90^\circ$. Вычислим диапазон значений для угла $∠XOA$:
$180^\circ - 90^\circ < 180^\circ - \frac{∠AOB}{2} < 180^\circ - 45^\circ$
$90^\circ < ∠XOA < 135^\circ$
Таким образом, углы $∠XOA$ и $∠XOB$ являются равными и тупыми. Этот вариант полностью удовлетворяет условию задачи.

Построение:

1. С помощью циркуля и линейки строим биссектрису данного тупого угла $∠AOB$. Обозначим ее как луч $OC$.
2. Проводим прямую через вершину $O$ и точку $C$ на биссектрисе.
3. На этой прямой строим луч $OX$, который является продолжением луча $CO$ за точку $O$ (т.е. луч $OX$ противоположен лучу $OC$).

Построенный луч $OX$ является искомым.

Ответ: Искомый луч $OX$ является лучом, противоположным биссектрисе данного тупого угла $∠AOB$.