Номер 4, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Вопросы к главе 2 - номер 4, страница 48.

Условие.

4 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка

Теорема (первый признак равенства треугольников): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Дано:
$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
$AB = A_1B_1$
$AC = A_1C_1$
$\angle A = \angle A_1$

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство:
Для доказательства применим метод наложения. Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ таким образом, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $A_1$, а стороны $AB$ и $AC$ наложились на лучи $A_1B_1$ и $A_1C_1$ соответственно. Такое наложение возможно, поскольку по условию $\angle A = \angle A_1$.

Поскольку по условию $AB = A_1B_1$, то сторона $AB$ совместится со стороной $A_1B_1$, а значит, их концы совпадут, то есть вершина $B$ совместится с вершиной $B_1$.

Аналогично, поскольку по условию $AC = A_1C_1$, то сторона $AC$ совместится со стороной $A_1C_1$, а значит, вершина $C$ совместится с вершиной $C_1$.

Мы получили, что вершины $B$ и $C$ совместились с вершинами $B_1$ и $C_1$. Следовательно, отрезки (стороны) $BC$ и $B_1C_1$ также совместятся.

Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ полностью совмещаются при наложении, а значит, они равны по определению равных фигур. Теорема доказана.

Ответ: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.