Номер 153, страница 47 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 153, страница 47.

Условие.

153. Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а.

Решение

Построим окружность с центром в данной точке М, пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами А и В (рис. 91). Затем построим две окружности с центрами А и В, проходящие через точку М. Эти окружности пересекаются в точке М и ещё в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведём прямую MN и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а.

В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому $\angle1=\angle2$. Отсюда следует, что отрезок MC (C — точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, $MN \perp AB$, т. е. $MN \perp a$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Сначала выполним построение. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $M$ и радиусом, достаточным для того, чтобы пересечь прямую $a$ в двух точках. Обозначим эти точки пересечения $A$ и $B$. Затем построим две новые окружности: одну с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AM$, и вторую с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $BM$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности с центром $M$, то $AM=BM$. Эти две новые окружности пересекутся в исходной точке $M$ и ещё в одной точке, которую обозначим $N$. Проведём прямую через точки $M$ и $N$. Докажем, что прямая $MN$ является искомой, то есть она перпендикулярна прямой $a$.

Для доказательства рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle BMN$.

• Сторона $AM$ равна стороне $BM$ по построению (как радиусы первой окружности с центром в $M$).
• Сторона $AN$ равна стороне $BN$, так как по построению радиус окружности с центром $A$ равен $AM$, а радиус окружности с центром $B$ равен $BM$, и мы уже установили, что $AM = BM$.
• Сторона $MN$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, $\triangle AMN = \triangle BMN$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle AMN = \angle BMN$ (на рисунке к задаче они обозначены как $\angle 1$ и $\angle 2$).

Пусть $C$ — точка пересечения прямых $MN$ и $a$. Так как $\angle AMN = \angle BMN$, то луч $MC$ является биссектрисой угла $\angle AMB$ в треугольнике $\triangle AMB$. Треугольник $\triangle AMB$ является равнобедренным с основанием $AB$, поскольку его боковые стороны $AM$ и $BM$ равны. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, отрезок $MC$ является высотой, опущенной на сторону $AB$, то есть $MC \perp AB$.

Поскольку отрезок $MC$ лежит на прямой $MN$, а отрезок $AB$ лежит на прямой $a$, то из $MC \perp AB$ следует, что прямая $MN \perp a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Построенная прямая $MN$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $a$.