Номер 150, страница 47 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 150, страница 47.

Условие.

150 □ Даны окружность, точка $A$, не лежащая на ней, и отрезок $PQ$. Постройте точку $M$ на окружности так, чтобы $AM = PQ$. Всегда ли задача имеет решение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи используется метод геометрических мест. Искомая точка $M$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Точка $M$ должна лежать на данной окружности.
2. Расстояние от точки $A$ до точки $M$ должно быть равно длине отрезка $PQ$, то есть $AM = |PQ|$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от точки $A$ на расстояние, равное длине отрезка $PQ$, представляет собой окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d = |PQ|$.

Таким образом, искомые точки $M$ являются точками пересечения двух окружностей: исходной и построенной.

Построение

1. С помощью циркуля измеряем длину отрезка $PQ$.
2. Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и строим вспомогательную окружность радиусом, равным длине отрезка $PQ$.
3. Точки (или точка) пересечения построенной вспомогательной окружности с данной в условии окружностью и будут являться искомыми точками $M$.

Ответ: Искомые точки $M$ – это точки пересечения данной окружности и окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$.

Всегда ли задача имеет решение?

Нет, задача имеет решение не всегда. Количество решений зависит от взаимного расположения исходной окружности (назовем ее $\omega_1$) и построенной нами вспомогательной окружности (назовем ее $\omega_2$).

Пусть $O$ — центр данной окружности $\omega_1$, а $R$ — её радиус. Центром окружности $\omega_2$ является точка $A$, а ее радиус равен $d = |PQ|$. Расстояние между центрами окружностей равно $|OA|$.

Решение существует тогда и только тогда, когда окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ имеют хотя бы одну общую точку (т.е. пересекаются или касаются). Условие для этого выражается двойным неравенством:

$|R - d| \le |OA| \le R + d$

В зависимости от выполнения этого условия возможны следующие случаи:

• Нет решений: если $|OA| > R + d$ (окружности находятся вне друг друга и не касаются) или $|OA| < |R - d|$ (одна окружность полностью внутри другой и не касается ее).
• Одно решение: если $|OA| = R + d$ (внешнее касание) или $|OA| = |R - d|$ (внутреннее касание).
• Два решения: если $|R - d| < |OA| < R + d$ (окружности пересекаются в двух точках).

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение только в том случае, если расстояние от точки $A$ до центра данной окружности $(|OA|)$, радиус данной окружности $(R)$ и длина отрезка $PQ$ $(d)$ связаны соотношением $|R - d| \le |OA| \le R + d$.