Номер 147, страница 47 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 147, страница 47.

Условие.

147 На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что угол $AOB$ — прямой. Отрезок $BC$ — диаметр окружности. Докажите, что хорды $AB$ и $AC$ равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$.

По условию, точки A, B, C лежат на окружности с центром в точке O. Это означает, что отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами данной окружности. Следовательно, они равны между собой: $OA = OB = OC$.

Также по условию, отрезок $BC$ является диаметром окружности. Это значит, что точки B, O, C лежат на одной прямой, а угол $\angle BOC$ является развернутым, то есть его величина равна $180^\circ$.

Угол $\angle BOC$ состоит из двух смежных углов: $\angle AOB$ и $\angle AOC$. Таким образом, их сумма равна $180^\circ$: $\angle AOB + \angle AOC = 180^\circ$.

Из условия задачи известно, что угол $AOB$ — прямой, то есть $\angle AOB = 90^\circ$. Подставим это значение в равенство выше и найдем величину угла $\angle AOC$: $\angle AOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Теперь сравним треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$. Они равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), так как сторона $AO$ у них общая, стороны $OB$ и $OC$ равны как радиусы ($OB = OC$), и углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ между этими сторонами также равны: $\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ$.

Поскольку треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ равны, то равны и их соответствующие стороны. Сторона $AB$ треугольника $\triangle AOB$ соответствует стороне $AC$ треугольника $\triangle AOC$. Следовательно, хорды $AB$ и $AC$ равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.