Номер 140, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 140, страница 41.

Условие.

140 В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ медианы $BM$ и $B_1M_1$ равны, $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства равенства треугольников $ΔABC$ и $ΔA_1B_1C_1$ будем использовать данные из условия задачи. Нам дано, что в этих треугольниках равны две стороны ($AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$) и медианы, проведенные к третьей стороне ($BM = B_1M_1$).

1. Рассмотрим треугольники $ΔABM$ и $ΔA_1B_1M_1$.

2. По определению, медиана делит противоположную сторону пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а точка $M_1$ – серединой стороны $A_1C_1$. Таким образом, мы можем записать: $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

3. В условии сказано, что $AC = A_1C_1$. Из этого следует, что и половины этих сторон равны между собой: $AM = A_1M_1$.

4. Теперь сравним три стороны треугольника $ΔABM$ с тремя сторонами треугольника $ΔA_1B_1M_1$:

- $AB = A_1B_1$ (по условию);

- $BM = B_1M_1$ (по условию);

- $AM = A_1M_1$ (как доказано в пункте 3).

Поскольку все три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, треугольники $ΔABM$ и $ΔA_1B_1M_1$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). То есть, $ΔABM = ΔA_1B_1M_1$.

5. Из равенства треугольников $ΔABM$ и $ΔA_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих углов. Нас интересует равенство углов при вершине $A$: $∠BAM = ∠B_1A_1M_1$.

6. Угол $∠BAM$ в треугольнике $ΔABM$ является тем же углом, что и $∠BAC$ в треугольнике $ΔABC$. Аналогично, $∠B_1A_1M_1$ является углом $∠B_1A_1C_1$. Следовательно, $∠BAC = ∠B_1A_1C_1$.

7. Теперь рассмотрим исходные треугольники $ΔABC$ и $ΔA_1B_1C_1$. Мы установили, что у них:

- $AB = A_1B_1$ (по условию);

- $AC = A_1C_1$ (по условию);

- $∠BAC = ∠B_1A_1C_1$ (угол между этими сторонами, как доказано в пункте 6).

Таким образом, треугольники $ΔABC$ и $ΔA_1B_1C_1$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ΔABC = ΔA_1B_1C_1$ доказано.