Номер 137, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 137, страница 41.

Условие.

137 На рисунке 53 (см. с. 31) $BC=AD$, $AB=CD$. Докажите, что $\angle B=\angle D$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства равенства углов $\angle B$ и $\angle D$ рассмотрим четырехугольник $ABCD$ и проведем в нем диагональ $AC$. Эта диагональ разделит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Сравним эти два треугольника. По условию задачи нам даны следующие равенства сторон:

1. $BC = AD$

2. $AB = CD$

Сторона $AC$ является общей для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Таким образом, мы видим, что три стороны треугольника $\triangle ABC$ (стороны $AB$, $BC$ и $AC$) соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle CDA$ (сторонам $CD$, $AD$ и $AC$).

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны:

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. В нашем случае, угол $\angle B$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $AC$. Угол $\angle D$ в треугольнике $\triangle CDA$ также лежит напротив стороны $AC$. Поскольку треугольники равны, то и эти углы равны между собой.

$\angle B = \angle D$

Утверждение доказано.

Ответ: Равенство $\angle B = \angle D$ доказано на основе равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ по третьему признаку.