Номер 141, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 141, страница 42.

Условие.

141 В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$, отрезки $AD$ и $A_1D_1$ — биссектрисы, $AB=A_1B_1$, $BD=B_1D_1$ и $AD=A_1D_1$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$. По условию задачи нам дано, что $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$ и $AD = A_1D_1$.

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, нас интересуют следующие углы:
1) $\angle B = \angle B_1$
2) $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$

По условию, отрезки $AD$ и $A_1D_1$ являются биссектрисами углов $BAC$ и $B_1A_1C_1$ соответственно. По определению биссектрисы угла:
$\angle BAC = 2 \cdot \angle BAD$
$\angle B_1A_1C_1 = 2 \cdot \angle B_1A_1D_1$

Так как мы ранее доказали, что $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$, то отсюда следует, что и $2 \cdot \angle BAD = 2 \cdot \angle B_1A_1D_1$, а значит $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Сравним их элементы:
1) $AB = A_1B_1$ (по условию)
2) $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (или $\angle B = \angle B_1$, как было доказано выше)
3) $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (как было доказано выше)
Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ доказано.