Номер 134, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 134, страница 41.

Условие.

134 Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим два равнобедренных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть $AC$ и $A_1C_1$ будут их основаниями.

Дано:
1. $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$.
2. $\triangle A_1B_1C_1$ — равнобедренный с основанием $A_1C_1$.
3. $AC = A_1C_1$ (основания равны).
4. $\angle A = \angle A_1$ (углы, прилежащие к основанию, равны).

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны.

Для $\triangle ABC$ это означает, что $\angle A = \angle C$.

Для $\triangle A_1B_1C_1$ это означает, что $\angle A_1 = \angle C_1$.

По условию задачи мы имеем, что $\angle A = \angle A_1$.

Так как $\angle A = \angle C$ и $\angle A_1 = \angle C_1$, а также $\angle A = \angle A_1$, то отсюда следует, что все четыре угла равны между собой: $\angle A = \angle C = \angle A_1 = \angle C_1$. В частности, нас интересует, что $\angle C = \angle C_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. У них:

• $AC = A_1C_1$ (по условию).
• $\angle A = \angle A_1$ (по условию).
• $\angle C = \angle C_1$ (по доказанному выше).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle A_1B_1C_1$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство равнобедренных треугольников доказано на основании второго признака равенства треугольников, так как из равенства одной пары углов при основании и свойства равнобедренного треугольника следует равенство и второй пары углов при основании, что вместе с равенством оснований удовлетворяет условию признака "сторона и два прилежащих угла".