Номер 127, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 127, страница 40.

Условие.

127 В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $\angle B = \angle B_1$. На сторонах $AB$ и $A_1B_1$ отмечены точки $D$ и $D_1$ так, что $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$. Докажите, что $\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:
$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
$AB = A_1B_1$
$BC = B_1C_1$
$\angle B = \angle B_1$
$D$ - точка на стороне $AB$
$D_1$ - точка на стороне $A_1B_1$
$\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$

Доказать:
$\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1$

Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
По условию $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $\angle B = \angle B_1$.
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2. Из равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их углы:
$\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$.

3. Угол $\angle BCD$ является частью угла $\angle ACB$. Мы можем выразить его как разность:
$\angle BCD = \angle ACB - \angle ACD$.
Аналогично для треугольника $A_1B_1C_1$ :
$\angle B_1C_1D_1 = \angle A_1C_1B_1 - \angle A_1C_1D_1$.

4. Так как из пункта 2 мы знаем, что $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$, и по условию задачи $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$, то разности этих углов также будут равны:
$\angle BCD = \angle B_1C_1D_1$.

5. Теперь рассмотрим треугольники $BCD$ и $B_1C_1D_1$. В них:
- $BC = B_1C_1$ (по условию).
- $\angle B = \angle B_1$ (по условию).
- $\angle BCD = \angle B_1C_1D_1$ (как доказано в пункте 4).
Следовательно, $\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.