Номер 120, страница 38 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 120, страница 38.

Условие.

120 В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена медиана $BD$. На сторонах $AB$ и $CB$ отмечены соответственно точки $E$ и $F$ так, что $AE=CF$. Докажите, что:

а) $\triangle BDE = \triangle BDF$;

б) $\triangle ADE = \triangle CDF$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Рассмотрим треугольники $BDE$ и $BDF$.

1. Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = CB$. По условию задачи дано, что $AE = CF$. Отсюда следует, что отрезки $BE$ и $BF$ также равны: $BE = AB - AE$ и $BF = CB - CF$. Так как правые части этих выражений равны, то и левые равны, то есть $BE = BF$.

2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. $BD$ — медиана к основанию $AC$, следовательно, $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Это означает, что $\angle ABD = \angle CBD$, или, что то же самое, $\angle EBD = \angle FBD$.

3. Сторона $BD$ является общей для треугольников $BDE$ и $BDF$.

Таким образом, мы имеем два треугольника ($BDE$ и $BDF$), у которых две стороны и угол между ними соответственно равны: $BE = BF$, $\angle EBD = \angle FBD$, и $BD$ — общая сторона. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) следует, что $\triangle BDE = \triangle BDF$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $CDF$.

1. Так как $BD$ — медиана, проведенная к стороне $AC$, она делит эту сторону пополам, то есть $AD = CD$.

2. По условию задачи нам дано, что $AE = CF$.

3. В пункте а) мы доказали, что $\triangle BDE = \triangle BDF$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, $DE = DF$.

Таким образом, мы имеем два треугольника ($ADE$ и $CDF$), у которых все три стороны соответственно равны: $AD = CD$, $AE = CF$ и $DE = DF$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) следует, что $\triangle ADE = \triangle CDF$.

Ответ: Что и требовалось доказать.