Номер 114, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 114, страница 37.

Условие.

114 ☐ Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны два равных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

Поскольку $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, то их соответствующие элементы равны. В частности, равны их соответствующие стороны и углы:$ AB = A_1B_1 $, $ AC = A_1C_1 $ и $ \angle A = \angle A_1 $.

Проведём медианы $ BM $ и $ B_1M_1 $ к соответственно равным сторонам $ AC $ и $ A_1C_1 $.

По определению медианы, она делит противоположную сторону пополам. Следовательно, точка $ M $ — середина стороны $ AC $, а точка $ M_1 $ — середина стороны $ A_1C_1 $.

Это означает, что $ AM = \frac{1}{2}AC $ и $ A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1 $.

Так как из условия равенства треугольников мы знаем, что $ AC = A_1C_1 $, то и половины этих сторон равны: $ AM = A_1M_1 $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $. Сравним их по трём элементам:
1. $ AB = A_1B_1 $ (как соответствующие стороны равных треугольников $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $).
2. $ AM = A_1M_1 $ (как было доказано выше).
3. $ \angle A = \angle A_1 $ (как соответствующие углы равных треугольников $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $).

Таким образом, треугольник $ \triangle ABM $ равен треугольнику $ \triangle A_1B_1M_1 $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $ BM $ (медиана первого треугольника) равна стороне $ B_1M_1 $ (медиане второго треугольника).

Следовательно, $ BM = B_1M_1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.