Номер 109, страница 36 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 109, страница 36.

Условие.

109 □ В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ проведена медиана $AM$. Найдите медиану $AM$, если периметр треугольника $ABC$ равен $32 \text{ см}$, а периметр треугольника $ABM$ равен $24 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, $AB = AC$.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) равен сумме длин всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + AC + BC$

Учитывая, что $AB = AC$, формула периметра принимает вид:

$P_{ABC} = AB + AB + BC = 2 \cdot AB + BC$

Из условия известно, что $P_{ABC} = 32$ см, поэтому мы можем составить уравнение:

$2 \cdot AB + BC = 32$

Теперь рассмотрим треугольник $ABM$. $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, значит:

$BM = MC = \frac{1}{2} BC$

Периметр треугольника $ABM$ ($P_{ABM}$) равен сумме длин его сторон:

$P_{ABM} = AB + BM + AM$

Заменим $BM$ на $\frac{1}{2} BC$:

$P_{ABM} = AB + \frac{1}{2} BC + AM$

По условию, $P_{ABM} = 24$ см, следовательно:

$AB + \frac{1}{2} BC + AM = 24$

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $2 \cdot AB + BC = 32$

2) $AB + \frac{1}{2} BC + AM = 24$

Разделим обе части первого уравнения на 2:

$\frac{2 \cdot AB + BC}{2} = \frac{32}{2}$

$AB + \frac{1}{2} BC = 16$

Теперь мы можем подставить полученное выражение $AB + \frac{1}{2} BC = 16$ во второе уравнение:

$16 + AM = 24$

Отсюда находим длину медианы $AM$:

$AM = 24 - 16$

$AM = 8$ (см)

Ответ: 8 см.