Номер 103, страница 36 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 103, страница 36.

Условие.

103 Начертите треугольник $ABC$ с тремя острыми углами и треугольник $MNP$, у которого угол $M$ тупой. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

В этой задаче требуется начертить два типа треугольников — остроугольный и тупоугольный — и провести в каждом из них все три высоты с помощью чертёжного угольника.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.

Построение высот в остроугольном треугольнике ABC

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $90^\circ$).

1. Начертите произвольный остроугольный треугольник $ABC$.
2. Проведение высоты из вершины A к стороне BC. Возьмите чертёжный угольник. Приложите одну из его сторон, образующих прямой угол, к стороне $BC$. Двигайте угольник вдоль прямой $BC$ до тех пор, пока вторая сторона прямого угла не коснётся вершины $A$. Проведите по этой стороне отрезок от вершины $A$ до пересечения со стороной $BC$. Обозначим точку пересечения $H_1$. Отрезок $AH_1$ является высотой ($AH_1 \perp BC$).
3. Проведение высоты из вершины B к стороне AC. Повторите процедуру для вершины $B$ и стороны $AC$. Приложите угольник к стороне $AC$ и проведите перпендикуляр из точки $B$ к стороне $AC$. Получим высоту $BH_2$ ($BH_2 \perp AC$).
4. Проведение высоты из вершины C к стороне AB. Аналогично проведите высоту из вершины $C$ к стороне $AB$. Получим высоту $CH_3$ ($CH_3 \perp AB$).

В остроугольном треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка называется ортоцентром.

Ответ:

На рисунке показан остроугольный треугольник $ABC$ и его высоты $AH_1$ (красная), $BH_2$ (зелёная) и $CH_3$ (синяя), построенные с помощью угольника.

Построение высот в тупоугольном треугольнике MNP

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой (то есть больше $90^\circ$). Пусть в треугольнике $MNP$ угол $M$ — тупой.

1. Начертите треугольник $MNP$ с тупым углом при вершине $M$.
2. Проведение высоты из вершины M (тупой угол) к стороне NP. Эта высота будет находиться внутри треугольника. Приложите угольник к стороне $NP$ и проведите перпендикуляр из вершины $M$ к стороне $NP$. Обозначьте основание высоты $H_1$. $MH_1$ — высота ($MH_1 \perp NP$).
3. Проведение высоты из вершины N (острый угол) к стороне MP. Эта высота будет находиться вне треугольника. Продлите сторону $MP$ за вершину $M$. Теперь приложите угольник к прямой, содержащей сторону $MP$, и проведите перпендикуляр из вершины $N$ на эту прямую. Обозначьте основание высоты $H_2$. $NH_2$ — высота ($NH_2 \perp MP$).
4. Проведение высоты из вершины P (острый угол) к стороне MN. Эта высота также будет находиться вне треугольника. Продлите сторону $MN$ за вершину $M$. Приложите угольник к прямой, содержащей сторону $MN$, и проведите перпендикуляр из вершины $P$ на эту прямую. Обозначьте основание высоты $H_3$. $PH_3$ — высота ($PH_3 \perp MN$).

В тупоугольном треугольнике только одна высота (из вершины тупого угла) лежит внутри треугольника. Две другие высоты (из вершин острых углов) лежат вне треугольника. Прямые, содержащие все три высоты, пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая также находится вне треугольника.

Ответ:

На рисунке показан тупоугольный треугольник $MNP$ (угол $M$ — тупой) и его высоты: $MH_1$ (красная), $NH_2$ (зелёная) и $PH_3$ (синяя). Пунктирными линиями показаны продолжения сторон.