Номер 106, страница 36 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 106, страница 36.

Условие.

106 □ Медиана $AD$ треугольника $ABC$ продолжена за точку $D$ на отрезок $DE$, равный $AD$, и точка $E$ соединена с точкой $C$.

a) Докажите, что $\triangle ABD = \triangle ECD$;

б) найдите $\angle ACE$, если $\angle ACD=56^{\circ}$, $\angle ABD=40^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ECD$.

1. $AD = DE$ по условию задачи.

2. $BD = DC$, так как $AD$ является медианой треугольника $ABC$, а медиана делит противоположную сторону пополам.

3. $\angle ADB = \angle EDC$ как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники $ABD$ и $ECD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Таким образом, $\triangle ABD = \triangle ECD$, что и требовалось доказать.

б)

Угол $\angle ACE$ является суммой двух углов: $\angle ACD$ и $\angle ECD$.

$\angle ACE = \angle ACD + \angle ECD$

Из равенства треугольников $\triangle ABD = \triangle ECD$, доказанного в пункте а), следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны соответствующие углы:

$\angle ECD = \angle ABD$

По условию задачи $\angle ABD = 40^\circ$, следовательно, $\angle ECD = 40^\circ$.

Также по условию известно, что $\angle ACD = 56^\circ$.

Теперь можем найти величину угла $\angle ACE$:

$\angle ACE = 56^\circ + 40^\circ = 96^\circ$

Ответ: $96^\circ$