Номер 99, страница 31 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 1. Первый признак равенства треугольников - номер 99, страница 31.

Условие.

99 На сторонах угла $CAD$ отмечены точки $B$ и $E$ так, что точка $B$ лежит на отрезке $AC$, а точка $E$ — на отрезке $AD$, причём $AC = AD$ и $AB = AE$. Докажите, что $\angle CBD = \angle DEC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольники $ΔACE$ и $ΔADB$. По условию задачи, стороны $AC = AD$ и $AE = AB$. Угол $∠CAD$ является общим для этих треугольников. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ΔACE ≅ ΔADB$.

Из равенства треугольников $ΔACE$ и $ΔADB$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно $CE = DB$.

Также из условия задачи мы можем найти длины отрезков $BC$ и $ED$. Поскольку точка $B$ лежит на отрезке $AC$, то $BC = AC - AB$. Аналогично, поскольку точка $E$ лежит на отрезке $AD$, то $ED = AD - AE$. Так как из условия известно, что $AC = AD$ и $AB = AE$, то и разности равны: $BC = ED$.

Теперь рассмотрим треугольники $ΔBCD$ и $ΔEDC$. Мы установили, что сторона $BC = ED$ и сторона $DB = CE$. Сторона $CD$ является общей для обоих треугольников. Таким образом, треугольники $ΔBCD$ и $ΔEDC$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

В равных треугольниках соответственные углы равны. Угол $∠CBD$ в треугольнике $ΔBCD$ и угол $∠DEC$ в треугольнике $ΔEDC$ лежат напротив общей стороны $CD$. Следовательно, $∠CBD = ∠DEC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠CBD = ∠DEC$ доказано.