Номер 93, страница 31 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 1. Первый признак равенства треугольников - номер 93, страница 31.

Условие.

93 □ Отрезки $AE$ и $DC$ пересекаются в точке $B$, являющейся серединой каждого из них.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $EBD$ равны;

б) найдите углы $A$ и $C$ треугольника $ABC$, если в треугольнике $BDE$ $\angle D = 47^\circ$, $\angle E = 42^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EBD$.

По условию задачи, точка $B$ является серединой отрезков $AE$ и $DC$. По определению середины отрезка, это означает, что:

$AB = BE$

$CB = BD$

Углы $\angle ABC$ и $\angle EBD$ являются вертикальными углами, так как они образованы при пересечении прямых $AE$ и $DC$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle ABC = \angle EBD$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $ABC$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $EBD$ ($AB = BE$, $CB = BD$, $\angle ABC = \angle EBD$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle EBD$.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $EBD$ доказано.

б)

Из доказанного в пункте а) равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle EBD$ следует, что их соответствующие элементы равны. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

Так как $BC = BD$, то противолежащий угол $\angle A$ в $\triangle ABC$ равен противолежащему углу $\angle E$ в $\triangle EBD$.

Так как $AB = BE$, то противолежащий угол $\angle C$ в $\triangle ABC$ равен противолежащему углу $\angle D$ в $\triangle EBD$.

Таким образом, мы имеем равенства углов:

$\angle A = \angle E$

$\angle C = \angle D$

По условию задачи, в треугольнике $BDE$ даны величины углов: $\angle D = 47^\circ$ и $\angle E = 42^\circ$.

Используя найденные равенства, находим углы треугольника $ABC$:

$\angle A = \angle E = 42^\circ$

$\angle C = \angle D = 47^\circ$

Ответ: $\angle A = 42^\circ$, $\angle C = 47^\circ$.