Номер 98, страница 31 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 1. Первый признак равенства треугольников - номер 98, страница 31.

Условие.

98 В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$. На сторонах $AB$ и $A_1B_1$ отмечены точки $P$ и $P_1$ так, что $AP=A_1P_1$. Докажите, что $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle BPC$ и $\triangle B_1P_1C_1$ воспользуемся признаками равенства треугольников. Решение можно разбить на несколько шагов.

Шаг 1: Доказательство равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По условию задачи нам дано, что $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$.

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), из этих условий следует, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Для дальнейшего доказательства нам важны следующие равенства:

1. Стороны $BC$ и $B_1C_1$ равны: $BC = B_1C_1$.

2. Углы $\angle ABC$ и $\angle A_1B_1C_1$ равны: $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.

Шаг 2: Нахождение равных отрезков на сторонах AB и A₁B₁.

Точка $P$ лежит на стороне $AB$, поэтому длина отрезка $AB$ является суммой длин отрезков $AP$ и $PB$, то есть $AB = AP + PB$. Отсюда можно выразить длину $PB$: $PB = AB - AP$.

Аналогично, точка $P_1$ лежит на стороне $A_1B_1$, поэтому $A_1B_1 = A_1P_1 + P_1B_1$. Отсюда $P_1B_1 = A_1B_1 - A_1P_1$.

По условию задачи $AB = A_1B_1$ и $AP = A_1P_1$. Так как равные отрезки вычитаются из равных отрезков, то полученные разности также равны:

$PB = AB - AP = A_1B_1 - A_1P_1 = P_1B_1$.

Следовательно, мы доказали, что $PB = P_1B_1$.

Шаг 3: Доказательство равенства треугольников $\triangle BPC$ и $\triangle B_1P_1C_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BPC$ и $\triangle B_1P_1C_1$. Сравним их элементы на основе выводов из предыдущих шагов:

1. Сторона $PB$ в $\triangle BPC$ равна стороне $P_1B_1$ в $\triangle B_1P_1C_1$ (доказано в шаге 2).

2. Сторона $BC$ в $\triangle BPC$ равна стороне $B_1C_1$ в $\triangle B_1P_1C_1$ (следует из шага 1).

3. Угол $\angle PBC$ (который является углом $\angle ABC$) равен углу $\angle P_1B_1C_1$ (который является углом $\angle A_1B_1C_1$), так как их равенство следует из шага 1.

Таким образом, в треугольниках $\triangle BPC$ и $\triangle B_1P_1C_1$ две стороны и угол между ними соответственно равны. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$ доказано на основании первого признака равенства треугольников (СУС).