Номер 105, страница 36 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 105, страница 36.

Условие.

105 □ Точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $a$. Перпендикуляры $AB$ и $CD$ к прямой $a$ равны.

а) Докажите, что $\angle ABD = \angle CDB$;

б) найдите $\angle ABC$, если $\angle ADB=44^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) Согласно условию, отрезки $AB$ и $CD$ являются перпендикулярами к прямой $a$. Это означает, что $AB \perp a$ и $CD \perp a$. Точки $B$ и $D$ являются основаниями этих перпендикуляров и, следовательно, лежат на прямой $a$.

По определению перпендикуляра к прямой, угол между отрезком $AB$ и прямой $a$ (которая содержит отрезок $BD$) равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle ABD = 90^\circ$.

Аналогично, угол между отрезком $CD$ и прямой $a$ (которая содержит отрезок $DB$) равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle CDB = 90^\circ$.

Поскольку $\angle ABD = 90^\circ$ и $\angle CDB = 90^\circ$, то $\angle ABD = \angle CDB$. Утверждение доказано.

Ответ: Равенство $\angle ABD = \angle CDB$ доказано.

б) Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. Из пункта а) мы знаем, что $\angle ABD = \angle CDB = 90^\circ$.

Сравним эти треугольники:
1. Катет $AB$ равен катету $CD$ по условию задачи.
2. Катет $BD$ является общим для обоих треугольников.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$ равны по двум катетам (что соответствует первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle ADB = \angle CBD$.

По условию задачи дано, что $\angle ADB = 44^\circ$. Значит, $\angle CBD$ также равен $44^\circ$.

Угол $\angle ABD$ является прямым ($\angle ABD = 90^\circ$) и состоит из двух углов: $\angle ABC$ и $\angle CBD$. Таким образом, $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$.

Чтобы найти $\angle ABC$, вычтем известный угол $\angle CBD$ из $\angle ABD$:

$\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD = 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$.

Ответ: $46^\circ$.