Номер 110, страница 36 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 110, страница 36.

Условие.

110 Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем отрезок $BM$, где $M$ — точка на стороне $AC$. По условию задачи, $BM$ является одновременно и медианой, и высотой треугольника $ABC$.

Дано:
$\triangle ABC$
$BM$ — медиана, из чего следует, что точка $M$ является серединой стороны $AC$, то есть $AM = MC$.
$BM$ — высота, из чего следует, что $BM$ перпендикулярна стороне $AC$, то есть $BM \perp AC$. Это означает, что углы $\angle BMA$ и $\angle BMC$ являются прямыми: $\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$.

Доказать:
Треугольник $ABC$ является равнобедренным (то есть, $AB = BC$).

Доказательство:
Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$, которые образовались в результате проведения отрезка $BM$.
Сравним эти два треугольника по следующим элементам:
1. $AM = MC$ (согласно условию, так как $BM$ — медиана).
2. $\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$ (согласно условию, так как $BM$ — высота).
3. $BM$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ равны ($\triangle ABM \cong \triangle CBM$), то равны и все их соответствующие элементы. В частности, сторона $AB$ треугольника $\triangle ABM$ равна соответствующей стороне $BC$ треугольника $\triangle CBM$.

Следовательно, $AB = BC$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Так как в $\triangle ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, то этот треугольник является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если медиана треугольника является его высотой, она делит основание на два равных отрезка и образует с ним прямые углы. В результате исходный треугольник разделяется на два равных прямоугольных треугольника (по признаку равенства по двум катетам, или по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз, которые являются боковыми сторонами исходного треугольника. Следовательно, исходный треугольник является равнобедренным.