Номер 115, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 115, страница 37.

Условие.

115 Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна отрезку $BM$. Докажите, что один из углов треугольника $ABC$ равен сумме двух других углов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = MC$.

Из условия задачи известно, что медиана $AM$ равна отрезку $BM$, то есть $AM = BM$.

Из двух этих равенств следует, что $AM = BM = MC$.

Рассмотрим треугольник $AMB$. Поскольку $AM = BM$, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $\angle BAM = \angle ABM$. Угол $\angle ABM$ — это угол $\angle B$ исходного треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Поскольку $AM = MC$, он также является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle MAC = \angle MCA$. Угол $\angle MCA$ — это угол $\angle C$ исходного треугольника $ABC$.

Угол $\angle A$ треугольника $ABC$ равен сумме углов $\angle BAM$ и $\angle MAC$: $\angle A = \angle BAM + \angle MAC$.

Заменяя в этом выражении $\angle BAM$ на равный ему $\angle B$ и $\angle MAC$ на равный ему $\angle C$, получаем:

$\angle A = \angle B + \angle C$.

Таким образом, доказано, что один из углов треугольника $ABC$, а именно $\angle A$, равен сумме двух других его углов.

Ответ: Утверждение доказано, так как было показано, что $\angle A = \angle B + \angle C$.