Номер 121, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 121, страница 40.

Условие.

121 □ Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в середине $O$ отрезка $AB$, $\angle OAD = \angle OBC$.

a) Докажите, что $\triangle CBO = \triangle DAO$;

б) найдите $BC$ и $CO$, если $CD = 26$ см, $AD = 15$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Рассмотрим треугольники $ \triangle CBO $ и $ \triangle DAO $. По условию задачи, отрезки $ AB $ и $ CD $ пересекаются в точке $ O $, которая является серединой отрезка $ AB $. Это означает, что $ AO = BO $. Также по условию нам дано равенство углов: $ \angle OAD = \angle OBC $. Углы $ \angle AOD $ и $ \angle BOC $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков $ AB $ и $ CD $. По свойству вертикальных углов, они равны: $ \angle AOD = \angle BOC $. Таким образом, мы имеем два треугольника, у которых сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($ AO $, $ \angle OAD $, $ \angle AOD $ в $ \triangle DAO $) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($ BO $, $ \angle OBC $, $ \angle BOC $ в $ \triangle CBO $). Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \triangle CBO = \triangle DAO $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \triangle CBO = \triangle DAO $ доказано.

б)

Из равенства треугольников $ \triangle CBO = \triangle DAO $, доказанного в пункте а), следует, что их соответствующие стороны равны. Это значит, что $ BC = AD $ и $ CO = DO $.

По условию задачи, $ AD = 15 $ см. Следовательно, $ BC = 15 $ см.

Также из условия известно, что $ CD = 26 $ см. Так как точка $ O $ лежит на отрезке $ CD $, то длина отрезка $ CD $ равна сумме длин его частей: $ CD = CO + DO $. Поскольку мы установили, что $ CO = DO $, мы можем записать: $ CD = CO + CO = 2 \cdot CO $.

Теперь подставим известное значение $ CD $ в это равенство: $ 26 = 2 \cdot CO $.

Отсюда мы можем найти длину $ CO $: $ CO = \frac{26}{2} = 13 $ см.

Ответ: $ BC = 15 $ см, $ CO = 13 $ см.