Номер 124, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 124, страница 40.

Условие.

124 По данным рисунка 73 докажите, что $OP = OT, \angle P = \angle T$.

Рис. 73

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольники $\triangle TCO$ и $\triangle PBO$.

Проанализируем данные с рисунка 73:

1. $\angle TCO = \angle PBO = 90^\circ$. Это следует из того, что углы отмечены знаком прямого угла.
2. $CO = BO$. Это следует из того, что отрезки отмечены одинаковыми штрихами, что указывает на их равенство.
3. $\angle TOC = \angle POB$. Эти углы являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых, $TP$ и $CB$. Вертикальные углы всегда равны.

Таким образом, треугольник $\triangle TCO$ равен треугольнику $\triangle PBO$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников ($\triangle TCO \cong \triangle PBO$) следует, что их соответствующие элементы равны. Соответствующими элементами являются те, что лежат напротив равных сторон или углов.

• Стороны $OT$ и $OP$ являются гипотенузами в данных прямоугольных треугольниках и лежат напротив равных прямых углов $\angle TCO$ и $\angle PBO$. Следовательно, $OT = OP$.
• Углы $\angle T$ и $\angle P$ лежат напротив равных сторон (катетов) $CO$ и $BO$. Следовательно, $\angle T = \angle P$.

Мы доказали оба требуемых равенства.

Ответ:

Равенства $OP=OT$ и $\angle P=\angle T$ доказаны. Они являются следствием равенства треугольников $\triangle TCO$ и $\triangle PBO$. Равенство этих треугольников устанавливается по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам): $CO=BO$ (по условию), $\angle TCO = \angle PBO = 90^\circ$ (по условию), $\angle TOC = \angle POB$ (как вертикальные углы).