Номер 122, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 122, страница 40.

Условие.

122 □ На рисунке 53 (см. с. 31) $\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4.$

a) Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$;

б) найдите $AB$ и $BC$, если $AD=19$ см, $CD=11$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $.

1. Сторона $ AC $ является общей для этих треугольников.

2. По условию $ \angle 1 = \angle 2 $. При наложении треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $ эти углы соответствуют углам $ \angle BAC $ и $ \angle DCA $. Следовательно, $ \angle BAC = \angle DCA $.

3. По условию $ \angle 3 = \angle 4 $. Аналогично, эти углы соответствуют углам $ \angle BCA $ и $ \angle DAC $. Следовательно, $ \angle BCA = \angle DAC $.

Таким образом, сторона $ AC $ и два прилежащих к ней угла ($ \angle BAC $ и $ \angle BCA $) треугольника $ \triangle ABC $ соответственно равны стороне $ AC $ и двум прилежащим к ней углам ($ \angle DCA $ и $ \angle DAC $) треугольника $ \triangle CDA $. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) следует, что $ \triangle ABC = \triangle CDA $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle ABC = \triangle CDA $ доказано.

б)

Из доказанного в пункте а) равенства треугольников $ \triangle ABC = \triangle CDA $ следует, что их соответствующие стороны равны. Соответствующими сторонами являются пары $ AB $ и $ CD $, а также $ BC $ и $ DA $.

Следовательно, мы можем записать равенства:

$ AB = CD $

$ BC = DA $

По условию задачи даны длины сторон: $ AD = 19 $ см, $ CD = 11 $ см.

Подставляя эти значения в полученные равенства, находим искомые длины сторон $ AB $ и $ BC $:

$ AB = CD = 11 $ см.

$ BC = DA = 19 $ см.

Ответ: $ AB = 11 $ см, $ BC = 19 $ см.