Номер 116, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 116, страница 37.

Условие.

116 ☐ Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим произвольный равносторонний треугольник $ABC$.

По определению, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Следовательно, для треугольника $ABC$ выполняется равенство сторон: $AB = BC = AC$.

Для доказательства равенства углов воспользуемся свойством равнобедренного треугольника. Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Свойство равнобедренного треугольника гласит, что углы, лежащие против равных сторон (углы при основании), равны.

Поскольку в равностороннем треугольнике $ABC$ все стороны равны, его можно рассматривать как равнобедренный с любой из сторон в качестве основания.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$ как равнобедренный с основанием $AC$. Так как стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), то по свойству равнобедренного треугольника углы при основании $AC$ равны, то есть $\angle A = \angle C$.

2. Теперь рассмотрим тот же треугольник $ABC$ как равнобедренный с основанием $AB$. Так как стороны $AC$ и $BC$ равны ($AC = BC$), то по свойству равнобедренного треугольника углы при основании $AB$ равны, то есть $\angle A = \angle B$.

Из полученных равенств $\angle A = \angle C$ и $\angle A = \angle B$ следует, что все три угла треугольника равны между собой: $\angle A = \angle B = \angle C$.

Таким образом, доказано, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Ответ: Утверждение доказано. В равностороннем треугольнике все стороны равны. Если рассмотреть любые две стороны как боковые, то треугольник будет равнобедренным, а углы при третьей стороне (основании) будут равны. Проделав это для разных пар сторон, мы устанавливаем, что все три угла треугольника равны между собой.