Номер 113, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 113, страница 37.

Условие.

113 Точки $M$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $b$. Перпендикуляры $MN$ и $PQ$, проведённые к прямой $b$, равны. Точка $O$ — середина отрезка $NQ$.

а) Докажите, что $\angle OMP = \angle OPM$;

б) найдите $\angle NOM$, если $\angle MOP = 105^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MNO$ и $\triangle PQO$. По условию $MN$ и $PQ$ являются перпендикулярами к прямой $b$, следовательно, $\angle MNO = 90^\circ$ и $\angle PQO = 90^\circ$. Из условия задачи нам дано:
1) $MN = PQ$ (длины перпендикуляров равны).
2) $NO = OQ$ (точка O — середина отрезка $NQ$).
3) $\angle MNO = \angle PQO = 90^\circ$ (так как $MN$ и $PQ$ — перпендикуляры).
Следовательно, $\triangle MNO = \triangle PQO$ по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их гипотенузы: $OM = OP$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MOP$. Так как две его стороны равны ($OM = OP$), то он является равнобедренным с основанием $MP$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle OMP = \angle OPM$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Из доказательства в пункте а) мы знаем, что $\triangle MNO = \triangle PQO$. Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle NOM = \angle POQ$.
Точки N, O и Q лежат на одной прямой $b$, поэтому угол $\angle NOQ$ является развернутым, и его градусная мера составляет $180^\circ$.
Этот развернутый угол состоит из трех углов: $\angle NOM$, $\angle MOP$ и $\angle POQ$. Таким образом, мы можем записать равенство:
$\angle NOM + \angle MOP + \angle POQ = 180^\circ$.
Пусть $\angle NOM = x$. Тогда и $\angle POQ = x$. По условию $\angle MOP = 105^\circ$. Подставим эти значения в уравнение:
$x + 105^\circ + x = 180^\circ$
$2x + 105^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 105^\circ$
$2x = 75^\circ$
$x = 75^\circ / 2$
$x = 37.5^\circ$
Следовательно, $\angle NOM = 37.5^\circ$.
Ответ: $\angle NOM = 37.5^\circ$.