Номер 111, страница 36 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 111, страница 36.

Условие.

111 На рисунке 65 $CD=BD$, $\angle 1=\angle 2$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Рис. 65

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$.

Согласно условию задачи, нам даны следующие равенства:
1. $CD = BD$
2. $\angle 1 = \angle 2$. На рисунке видно, что $\angle 1$ — это $\angle ADB$, а $\angle 2$ — это $\angle ADC$. Следовательно, $\angle ADB = \angle ADC$.

Кроме того, сторона $AD$ является общей для обоих треугольников ($\triangle ADC$ и $\triangle ADB$).

Таким образом, мы можем применить первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Сравним элементы треугольников $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$:

$CD = BD$ (по условию),
$\angle ADC = \angle ADB$ (по условию),
$AD$ — общая сторона.

Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны: $\triangle ADC \cong \triangle ADB$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В нашем случае сторона $AC$ треугольника $\triangle ADC$ соответствует стороне $AB$ треугольника $\triangle ADB$. Отсюда следует, что $AC = AB$.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Так как в треугольнике $\triangle ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны, то треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным, так как было доказано равенство его боковых сторон $AB = AC$. Это равенство следует из того, что треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: $BD=CD$, $AD$ — общая сторона, $\angle ADB = \angle ADC$).