Номер 117, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - номер 117, страница 37.

Условие.

117 На рисунке 67 $AB=BC$, $CD=DE$. Докажите, что $\angle BAC = \angle CED$.

Рис. 67

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Согласно условию задачи, стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB=BC$). Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Для треугольника $ABC$ основанием является сторона $AC$, следовательно, углы при основании $\angle BAC$ и $\angle BCA$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. По условию, стороны $CD$ и $DE$ равны ($CD=DE$). Таким образом, треугольник $CDE$ также является равнобедренным с основанием $CE$. Углы при основании этого треугольника, $\angle DCE$ и $\angle CED$, равны между собой: $\angle DCE = \angle CED$.

Углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ являются вертикальными, поскольку они образованы при пересечении прямых $AE$ и $BD$ в точке $C$. Согласно свойству вертикальных углов, они равны: $\angle BCA = \angle DCE$.

Объединим полученные равенства:

1. $\angle BAC = \angle BCA$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$).
2. $\angle BCA = \angle DCE$ (как вертикальные углы).
3. $\angle DCE = \angle CED$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $CDE$).

Из этих трех равенств по свойству транзитивности следует, что $\angle BAC = \angle BCA = \angle DCE = \angle CED$. Таким образом, $\angle BAC = \angle CED$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основе свойств равнобедренных треугольников и вертикальных углов установлено, что $\angle BAC = \angle CED$.